\section[振动解]{\makebox[5em][s]{振动解}}\label{sec:07.02}

本节从动力学基本方程来求解在弹性力作用下的运动。现在
% 202.jpg

\noindent
还是先讨论系在弹簧一端的质点(图\ref{fig:07.01})，它称为振子。按牛顿第
二定律，振子的运动方程为：
\begin{equation*}
  m \frac { \dif ^ { 2 } x } { \dif t ^ { 2 } } = - k x
\end{equation*}
或者
\begin{equation}\label{eqn:07.02.01}
  \frac { \dif ^ { 2 } x } { \dif t ^ { 2 } } + \frac { k } { m } x = 0
\end{equation}
由于$ k $，$ m $都是正数，所以可以定义一个实数$ \omega $，使得
\begin{equation}\label{eqn:07.02.02}
  \omega ^ { 2 } = \frac { k } { m }
\end{equation}
于是，式\eqref{eqn:07.02.01}可写成
\begin{equation}\label{eqn:07.02.03}
  \frac { \dif ^ { 2 } x } { \dif t ^ { 2 } } + \omega ^ { 2 } x = 0
\end{equation}
式\eqref{eqn:07.02.03}就是振子运动的微分方程。它的解是
\begin{equation}\label{eqn:07.02.04}
  x = A \cos \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right)
\end{equation}
其中$ A $，$ \varphi _ { 0 } $是两个任意常数。图\ref{fig:07.05}\;画出了上式的$ x \mathdash t $关系，它清楚
地显示周期运动的特征。这种周期运动叫做简谐振动。
\begin{figure}[h]
  \vspace{1em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig07.05}
  \caption{简谐振动}
  \label{fig:07.05}
  %\vspace{1em}
\end{figure}

现在我们来说明式\eqref{eqn:07.02.04}中各量的物理意义。

首先，由三角函数性质$ \left| \cos \theta \right| \leqslant 1 $ 可知，位移量$ x $的绝对值
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不能大于$ A $，即
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \left| x \right| & = \left| A \cos \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right) \right|             \\
                     & = A \left| \cos \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right) \right| \leqslant A
  \end{aligned}
\end{equation*}
这说明$ A $是振子离开平衡位置的最大距离，称为振幅。上节中已
指出，
\begin{equation*}
  x _ { \max } = \sqrt { \frac { 2 E } { k } }
\end{equation*}
所以%\vspace{-1.56em}
\begin{equation*}
  A = \sqrt { \frac { 2 E } { k } }
\end{equation*}
或者%\vspace{-1.56em}
\begin{equation}\label{eqn:07.02.05}
  E = \frac { k } { 2 } A ^ { 2 }
\end{equation}
即振幅的平方与振子的能量成正比。

其次，如果式\eqref{eqn:07.02.04}中的时间$ t $增加一个数值$ \dfrac { 2 \uppi } { \omega } $，$ x $
变成
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    x & = A \cos \left[ \omega \left( t + \frac { 2 \uppi } { \omega } \right) + \varphi _ { 0 } \right] \\
      & = A \cos \left( \omega t + 2 \uppi + \varphi _ { 0 } \right)                                     \\
      & = A \cos \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right)
  \end{aligned}
\end{equation*}
也就是说，相隔$ \dfrac { 2 \uppi } { \omega } $的两个时刻，运动状态是相同的，即运动是
以$ \dfrac { 2 \uppi } { \omega } $为间隔重复的。所以 $ \dfrac { 2 \uppi } { \omega } $就是振动的周期$ T = \dfrac { 2 \uppi } { \omega } $。

又因$ \omega ^ { 2 } = \dfrac { k } { m } $，故有
\begin{equation}\label{eqn:07.02.06}
  T = \frac { 2 \uppi } { \omega } = 2 \uppi \sqrt { \frac { m } { k } }
\end{equation}
可见，周期仅由振子的质量$ m $和弹簧的弹性系数$ k $来确定，而与振
子的能量$ E $无关，这是简谐振动的重要特征。振子在单位时间内
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的振动次数，称为频率$ \nu $，由下式给定：
\begin{equation*}
  \nu = \frac { 1 } { T } = \frac { \omega } { 2 \uppi } = \frac { 1 } { 2 \uppi } \sqrt { \frac { k } { m } }
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
  \omega = 2 \uppi \nu = \frac { 2 \uppi } { T }
\end{equation*}
$ \omega $称为圆频率，它和频率$ \nu $相差一个因子$ 2 \uppi $。

再则，由式\eqref{eqn:07.02.04}可见，当振幅$ A $、圆频率$ \omega $一定时，位置
只决定于$ \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right) $，也就是说振动物体的运动状态可由$ \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right) $
来标志。$ \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right) $这个量叫做位相。知道了位相也就知道了物
体的运动状态。例如，当位相为$ \dfrac { \uppi } { 2 } $，或者$ \dfrac { \uppi } { 2 } + 2 \uppi n $(其中$ n $为整
数)时，就必有$ x = 0 $。

常数$ \varphi _ { 0 } $是时间$ t = 0 $时的位相，所以叫做初位相，它决定$ t = 0 $
时刻振子的位置$ x _ { 0 } = A \cos \varphi _ { 0 } $。

对式\eqref{eqn:07.02.04}作$ t $的微分，就得到振子速度的表达式
\begin{equation}\label{eqn:07.02.07}
  v = \frac { \dif x } { \dif t } = - \omega A \sin \left( \omega t + \varphi _ { 0 } \right)
\end{equation}

可见，速度的周期变化也由三角函数描写。

对比式\eqref{eqn:07.02.04}与式\eqref{eqn:07.02.07}，可以看到，当$ x $到达极大或极
小值时，即$ x = \pm A $，则速度为零，$ v = 0 $；而当速度达到极大或极小
值时，即$ v = \pm \omega A $，则位置为零，$ x = 0 $。其实这个性质很容易从
势能曲线(图\ref{fig:07.04})得到。对于能量为$ E $的振子，它的机械能守恒
方程是
\begin{equation*}
  \frac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } k x ^ { 2 } = E
\end{equation*}
因此，当
\begin{equation*}
  x =
  \begin{cases}
    A \\
    -A
  \end{cases}
  =
  \begin{cases}
    x _ { \text { max } } \\
    x _ { \text { min } }
  \end{cases}
\end{equation*}
% 205.jpg
\clearpage\noindent
势能等于总能量，$ E = V $，故动能为零，即速度为零。相反，当速
度达到极值，即动能达到极大时，动能等于总能，势能为零，故
$ x = 0 $。
